\begin{equation*}
f(x,y)=
\begin{cases}
0,&\text{se }x\text{ é irracional},\\
0,&\text{se }x\text{ é racional e }y\text{ é irracional},\\
1/q,&\text{se }x\text{ é racional e
}y=p/q\text{ na forma irredutível.}
\end{cases}
\end{equation*}
se \(C\) tem conteúdo nulo então \(C\) é limitado por um retângulo fechado \(A\text{,}\)\(C\) é \(J-\)mensurável e \(\displaystyle\int_A\chi_C=0\text{;}\)
Sejam \(A\) um conjunto \(J-\)mensurável e \(\epsilon
>0\text{.}\) Mostre que existe um compacto \(C\subset A\text{,}\)\(J-\)mensurável, tal que \(\displaystyle\int_{A\setminus
C}1<\epsilon\text{.}\)
Use o teorema de Fubini para dar um prova simples do Teorema de Schwarz, ou seja, \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\text{,}\) se \(f\) é uma função de classe \(\mathscr{C}^2\text{.}\)
Deduza uma fórmula para o cálculo do volume de um sólido em \(\R^3\) obtido pela rotação de uma região \(J-\)mensurável no plano \(yz\) ao redor do eixo \(Oz\) (suponha que a região em questão não intercepta o eixo \(Oz\)).
Seja \(f\colon[a,b]\times[c,d]\to\R\) contínua com \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) também contínua e defina \(F\colon[c,d]\to\R\) por \(F(y)=\displaystyle\int_a^b
f(x,y)\,dx\text{.}\) Mostre que \(F'(y)=\displaystyle\int_a^b\frac{\partial
f}{\partial y}(x,y)\,dx\text{.}\)
Sejam \(A\) e \(B\) conjuntos \(J-\)mensuráveis contidos num paralelepípedo \(R\times
[a,b]\subset\R^3\text{.}\) Defina \(A_c=\big\{(x,y)\in R:(x,y,c)\in A\big\}\) e \(B_c\) de modo análogo. Suponha que \(A_c\) e \(B_c\) sejam, para cada \(c\in[a,b]\text{,}\) conjuntos \(J-\)mensuráveis em \(\R^2\) de mesma área. Mostre que \(A\) e \(B\) têm o mesmo volume.
Mostre que \(f_n\) é contínua em \(x_0=0\text{.}\)Dica.
Mostre que \(a<e^a\) para todo \(a\in\R\) e depois defina \(a=\frac{t}{2n}\) para mostrar que \(\frac{t^n}{e^t}<\frac{(2n)^n}{e^{t/2}}\text{.}\) Faça então \(t=\frac{1}{x}\) e \(x\to
0^+\text{.}\)
Seja \(A=[a_1,b_1]\times\ldots\times[a_n,b_n]\) um retângulo em \(\R^n\text{.}\) Construa uma função, de classe \(\mathscr{C}^\infty\text{,}\)\(\phi\colon\R^n\to\R\) tal que \(\phi(x)>0\) para \(x\in\mathring{A}\) e \(\phi(x)=0\text{,}\) em caso contrário.
Mostre que a coleção de funções dadas por \(\phi_{2m+1}(x)=f(x-m\pi)\text{,}\) se \(m\geq 0\text{,}\) e \(\phi_{2m}(x)=f(x+m\pi)\text{,}\) se \(m\geq 1\text{,}\) onde
Sejam \(S\) um subconjunto arbitrário de \(\R^n\) e \(x_0\in S\text{.}\) Dizemos que uma função \(f\colon S\to\R\) é de classe \(\mathscr{C}^r\) em \(x_0\) se existe um aberto \(U\text{,}\) contendo \(x_0\text{,}\) e uma função \(g\colon U\to\R\text{,}\) de classe \(\mathscr{C}^r\text{,}\) tal que \(g(x)=f(x)\) para todo \(x\in U\cap S\text{.}\)
Mostre que se \(f\colon S\to\R\) é de classe \(\mathscr{C}^r\) em cada ponto \(x_0\in S\subset\R^n\text{,}\) então \(f\) pode ser estendida a uma função \(h\colon
A\to\R\text{,}\) onde \(A\) é um aberto de \(\R^n\) contendo \(S\text{.}\)
Seja \(S\) a porção do primeiro quadrante de \(\R^2\) limitada pelas hipérboles \(xy=1\) e \(xy=2\text{,}\) além das retas \(y=x\) e \(y=4x\text{.}\) Calcule \(\displaystyle\int_S x^2y^3\,dx\,dy\text{.}\)
Mostre que \(f\) é injetora, calcule \(f'(r,\theta)\) e mostre que \(\det f'(r,\theta)\neq 0\) para todo \((r,\theta)\text{.}\) Determine o conjunto \(f\big(]0,\infty[\times]0,2\pi[\big)\text{.}\)
Seja \(C\subset\R^2\) a região delimitada por círculos de raios \(r_1\) e \(r_2\text{,}\)\(0<r_1<r_2\) e pela retas que passam pela origem que fazem ângulo \(\theta_1\) e \(\theta_2\) com o eixo dos \(x\text{,}\) respectivamente. Se \(h\colon C\to\R\) é uma função integrável tal que \(h(x,y)=g\big(r(x,y),\theta(x,y)\big)\text{,}\) mostre que
Sejam \(0<a<b\text{.}\) Considere o círculo no plano \(Oxz\) de raio \(a\) e centro em \((b,0,0)\text{.}\) Ao rotacionar esse círculo em torno do eixo \(Oz\) obtemos uma superfície chamada toro (vide Exercício 16 da Lista 01 - “Recordação”). Se realizamos esse processo com o disco ao invés do círculo obtemos o toro sólido.
Você pode calcular isto diretamente, mas é bem mais conveniente utilizar as coordenadas cilíndricas do \(\R^3\text{:}\)\(g(r,\theta, z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\text{.}\) Determine a região no domínio de \(g\) que tem o toro como imagem.
