Seção Descrição do Curso
Neste curso vamos generalizar, na verdade unificar, os teoremas do cálculo vetorial vistos para curvas e superfícies em \(\R^2\) e \(\R^3\text{,}\) a saber os teoremas de Green, Gauss e Stokes. Para isso começamos retomando os principais resultados sobre funções diferenciáveis de \(\R^m\) em \(\R^n\text{:}\) os teoremas da função inversa, da função implícita, do posto e as formas locais das imersões e submersões.
Passamos em seguida para a teoria de integração para funções \(f\colon\R^n\to\R\) examinando os teoremas de Fubini e mudança de variáveis nesse contexto. Tudo isso é bastante análogo ao que já foi visto em cursos anteriores.
A novidade começa com a teoria de formas diferenciais, para as quais começamos estudando aplicações multilineares do ponto de vista algébrico para só então "temperar" isso com derivadas e campos vetoriais. Em seguida estudamos as subvariedades do \(\R^n\) e condições para orientabilidade das mesmas.
Com isso podemos definir a integral de uma forma diferencial sobre uma variedade, que é uma maneira de estudar objetos geométricos e analíticos de maneira global. Finalmente enunciamos o teorema de Stokes e vai ser muito legal ver que ele é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo, visto no primeiro semestre da graduação.
Se o tempo permitir, vamos estudar a relação entre condições sobre formas diferenciais e a topologia do espaço onde elas estão definidas, através dos grupos de cohomologia de de Rham.
