1.
Justifique com detalhes a validade da propriedade (4) utilizada na demonstração feita em sala do Teorema da Função Inversa.
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Lista de Exercícios Lista 01
Primeira Lista de Exercícios.
2.
Seja \(f\colon\R^2\to\R^2\) dada por \(f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)\text{.}\)
-
Mostre que \(f\) é injetora no conjunto \(A=\big\{(x,y)\in\R^2\colon x>0\big\}\text{.}\)
-
Descreva o conjunto \(f(A)\text{.}\)
-
Denotando por \(g\) a inversa de \(f\text{,}\) determine, se possível, \(Dg(0,1)\text{.}\)
3.
Repita o exercício acima para \(f\colon\R^2\to\R^2\) dada por \(f(x,y)=(e^x\cos y, e^x\sin y)\text{,}\) sendo o conjunto \(A=\big\{(x,y)\in\R^2\colon 0<y<\pi/2\big\}\text{.}\)
4.
Considere a função \(F\colon\R^3\to\R\) dada por
\begin{equation*}
F(x,y,z)=z^3+3z+2x^4+y^2-x^2-2y.
\end{equation*}
-
Mostre que a equação \(F(x,y,z)=0\) define uma função \(z=f(x,y)\) de classe \(\mathscr{C}^2\) em todo o plano.
-
Determine os pontos críticos de \(f\text{.}\)
-
Classifique esses pontos críticos quanto a máximos locais, mínimos locais ou selas.
-
Escreva o polinômio de Taylor de ordem 1 e seu resto para \(f\) em torno de \((1,1)\text{.}\)
5.
Seja \(f\colon[0,2]\to\R^*_+\) uma função contínua tal que \(\displaystyle \int_0^1
f(t)\,dt=\int_1^2f(t)\,dt=1\text{.}\) Mostre que existe função \(g\colon[0,1]\to[0,2]\text{,}\) de classe \(\mathscr{C}^1\text{,}\) tal que \(\displaystyle \int_x^{g(x)}f(t)\,dt=1\text{.}\)
6.
Identificando os espaço das matrizes quadradas de ordem \(n\text{,}\) \(M_n(\R)\text{,}\) com \(\R^{n^2}\) definimos a função \(f\colon\R^{n^2}\to\R^{n^2}\) por \(f(X)=X^2\text{.}\)
-
Mostre que \(f\) é de classe \(\mathscr{C}^\infty\text{.}\)
-
Determine \(Df(X_0)\) para cada \(X_0\in\R^{n^2}\text{.}\)
-
Mostre que, numa vizinhança de \(Y_0=\id\text{,}\) cada matriz possui uma única raiz quadrada, isto é, para cada \(Y\) nessa vizinhança existe uma única matriz \(X\) tal que \(X^2=Y\text{.}\)
7.
Seja \(SL(3)=\big\{A\in M_3(\R)\colon\det A=1\big\}\text{.}\)
-
Mostre que \(SL(3)\) é, localmente, gráfico de uma função de classe \(\mathscr{C}^\infty\text{.}\)
-
Determine a dimensão do plano tangente em cada ponto desse gráfico.
-
Explicite o plano tangente a esse gráfico em \(X_0=\id\text{.}\)
8.
Seja \(S=\big\{A\in M_2(\R)\colon\posto A=1\big\}\text{.}\)
-
Mostre que \(S\) é, localmente, gráfico de uma função real de classe \(\mathscr{C}^1\text{.}\)
-
Determine a dimensão do plano tangente a esse gráfico em \(A_0= \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}\text{.}\)
9.
Seja \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\) um polinômio com coeficientes reais tal que \(x_0\) é uma raiz real simples de \(p(x)\text{.}\)
-
Mostre que todo polinômio de grau \(n\) ``suficientemente próximo’’ de \(p(x)\) tem uma raiz real pŕoxima de \(x_0\) que varia suavemente em termos dos coeficientes do polinômio.
-
Determine a diferencial dessa função que associa os coeficientes do polinômio a essa raiz simples.
Pode-se obter resultado semelhante se a raiz de \(p(x)\) não é simples? Dê exemplos.
10.
Seja \(f\colon\R^m\times\R^n\to\R^n\) uma função de classe \(\mathscr{C}^1\text{.}\) Para cada \(x\in\R^m\) considere a função \(f_x:\R^n\to\R^n\) dada por \(f_x(y)=f(x,y)\text{.}\) Suponha que exista \(a\in\R^m\) tal que \(f_a\) tem um ponto fixo \(b\in\R^n\text{,}\) isto é, \(f_a(b)=b\) e que \(Df_a(b)\) é uma transformação linear que não tem \(1\) como autovalor. Mostre que, para \(x\) suficientemente próximo de \(a\) a função \(f_x\) tem um único ponto fixo próximo de \(b\) que varia suavemente com \(x\text{.}\)
11.
Demonstre a seguinte versão da forma local das imersões:
Teorema 1.
Se \(f\colon A\to\R^{n+p}\text{,}\) de classe \(\mathscr{C}^1\) no aberto \(A\subset\R^n\text{,}\) é uma imersão em \(x_0\in A\) então existe um difeomorfismo \(h\colon W\to U\times V\) entre os abertos \(W\text{,}\) contendo \(f(x_0)\) e \(U\times V\subset\R^n\times
R^p\text{,}\) contendo \((x_0,0)\text{,}\) tal que \(h\circ
f(x)=(x,0)\) para todo \(x\in U\text{.}\)
12.
Mostre que se \(f\colon A\subset\R^{n+p}\to\R^p\) é de classe \(\mathscr{C}^1\) no aberto \(A\) com \(n>0\) então \(f\) não é injetora.
13.
Seja \(f\colon A\to\R^k\) uma função de classe \(\mathscr{C}^1\) no aberto \(A\subset\R^{n+k}\text{.}\) Um vetor \(c\in\R^k\) é valor regular de \(f\) se \(Df(x)\) é sobrejetora, para todo \(x\in f^{-1}(c)\text{.}\)
Mostre que o gráfico de qualquer função \(g\colon
A\subset\R^n\to\R^k\) é a imagem inversa de um valor regular.
14.
Mostre que a curva em \(\R^3\) dada pelo sistema \(\begin{cases} x^2+y^2&=&1\\ x^2+z^2&=&1
\end{cases}\) não é a imagem inversa de um valor regular.
15.
O cone \(z^2=x^2+y^2\) é imagem inversa de valor regular?
16.
Seja \(f\colon \R^3\to\R\) dada por \(f(x,y,z)=z^2+\big(2-\sqrt{x^2+y^2}\big)^2\text{.}\) Mostre que \(1\) é valor regular de \(f\) e descreva \(f^{-1}(1)\text{.}\)
Mostre ainda que \(f^{-1}(1)\) é gráfico de uma função \(g\colon A\subset\R^2\to\R\) numa vizinhança de \((1,0,0)\text{.}\) Determine o plano tangente ao gráfico de \(g\) nesse ponto.
17.
Mostre que se \(c\) é valor regular de \(f\) então, para cada \(x_0\in f^{-1}(c)\) existem abertos \(U\subset\R^n\) e \(V\subset\R^k\) tais que \(f^{-1}(c)\cap (U\times V)\) é o gráfico de uma função \(g\colon U\to V\) de classe \(\mathscr{C}^1\text{.}\)
18.
Sejam \(\sigma\colon\R^2\to\R^3\) uma imersão injetora de classe \(\mathscr{C}^1\) e \(\gamma\colon\R\to\R^3\) uma curva de classe \(\mathscr{C}^1\) tal que \(\gamma(\R)\subset\sigma(\R^2)\text{.}\)
Mostre que existem \(\delta>0\) e \(\alpha\colon]-\delta,\delta[\to\R^2\text{,}\) de classe \(\mathscr{C}^1\) tal que \(\gamma|_{]-\delta,\delta[}=\sigma\circ\alpha\text{.}\)
