Se \(\omega\) é um \(1-\)tensor em \(\R^n\text{,}\) mostre que existe uma matriz \(1\times n\text{,}\) digamos \(A\text{,}\) tal que \(\omega(y)=Ay\) para todo \(y\in\R^n\text{.}\) Em seguida, se \(T\in L(\R^m,\R^n)\text{,}\) determine a matriz que representa o 1-tensor \(T^\ast\omega\) em \(\R^m\text{.}\)
Sejam \(x_1,\ldots,x_k\) vetores em \(\R^n\) e \(X=[x_1\cdots x_k]\in M_{n\times k}(\R)\text{.}\) Se \(I=(i_1,\ldots,i_k)\) é uma \(k-\)upla rbitrária do conjunto \(\{1,\ldots,n\}\text{,}\) mostre que
Seja \(\omega\colon\R^m\times\R^m\to\R\) um \(2-\)tensor alternado. Mostre que, se \(m\) é ímpar, então existe \(v\in\R^m\) não-nulo tal que \(\omega(v,u)=0\) para todo \(u\in\R^m\text{.}\)
para toda \(f\in\Lambda^1(\R^m)\) e todos \(v_1,\ldots,v_m\in\R^m\text{.}\) Mostre ainda que a correspondência \(\omega\mapsto v\) é um isomorfismo entre os espaços vetoriais \(\Lambda^{m-1}(\R^m)\) e \(\R^m\text{.}\)
Mostre que se \(f\colon\R^n\to\R^m\) e \(g\colon\R^m\to\R^k\) são diferenciáveis então \((g\circ f)_\ast=g_\ast\circ f_\ast\) e \((g\circ
f)^\ast=f^\ast\circ g^\ast\text{.}\)
Seja \(\gamma\colon[a,b]\to\R^n\) uma curva diferenciável. Mostre que o vetor velocidade de \(\gamma\) no instante \(t\) é \(v=\gamma_\ast(t)(1)\text{.}\) Mostre também que se \(f\colon\R^n\to\R^m\) é diferenciável, então o vetor tangente a \(f\circ\gamma\) em \(t\) é \(f_\ast(v)\text{.}\)
Seja \(\omega\in\Omega^k(A)\text{,}\) onde \(A\subset\R^n\) é um aberto. Dizemos que \(\omega\) é nula em \(x\in A\) se \(\omega(x)\) é o \(k-\)tensor identicamente nulo.
Mostre que se \(\omega\) é nula numa vizinhança de \(x_0\in A\) então \(d\omega\) é nula de em \(x_0\text{.}\)
Sejam \(\eta,\theta\in\Omega^1(A)\text{,}\) onde \(A\) é aberto de \(\R^3\) tais que \(\eta\wedge\theta(x)\neq 0\) para todo \(x\in A\text{.}\) Se \(\omega\) é uma forma satisfazendo \(\omega\wedge\eta=\omega\wedge\theta=0\) mostre que existe \(f\colon A\to\R\) tal que \(\omega=f\,\eta\wedge\theta\text{.}\)
Sejam \(\omega\in\Omega^1(\R^n)\) e \(f\colon\R^n\to\R\) uma função de classe \(\mathscr{C}^\infty\) tal que \(f(x)\neq 0\) para todo \(x\in\R^n\text{.}\) Mostre que \(d(f\omega)=0\) se e somente se a \(1-\)forma \(\alpha=\omega-(1/f)\, dx_{n+1}\) em \(\R^{n+1}\) satisfaz \(\alpha\wedge d\alpha=0\text{.}\)
O operador \(d\colon\Omega^k(\R^n)\to\Omega^{k+1}(\R^n)\) pode ser visto como um tipo de derivada direcional. Isso é o que garante o teorema abaixo, que será demonstrado neste exercício.
Teorema2.
Sejam \(A\) um aberto de \(\R^n\) e \(\omega\in\Omega^{k-1}(A)\text{.}\) Dados \(v_1,\ldots,v_k\) em \(\R^n\) definimos as funções \(h,g\colon A\to\R\text{,}\) respectivamente, por
Para provar o resultado acima, seiga os seguintes passos:
Seja \(X=[v_1\cdots v_k]\text{,}\) matriz \(n\times k\text{.}\) Para cada \(1\leq j\leq k\) defina \(Y_j=[v_1\cdots
\widehat{v_j}\cdots v_k]\text{,}\) matriz \(n\times
(k-1)\text{.}\) Dada a \(k-\)upla \(I=(i,i_1,\ldots,i_k)\) mostre que
Seja \(A\) um aberto de \(\R^n\text{.}\) Denote por \(\mathscr{S}(A)\) o conjunto dos campos escalares sobre \(A\) e por \(\mathscr{X}(A)\) o conjunto dos campos de vetores sobre \(A\text{.}\) Mostre que existem isomorfismos \(\alpha_i\) e \(\beta_j\) entre espaços vetoriais como nos diagramas abaixo
\begin{equation*}
\begin{CD}
\mathscr{S}(A) @>\alpha_0 >> \Omega^0(A)\\
@VV\nabla V @VV d V\\
\mathscr{X}(A) @>\alpha_1 >> \Omega^1(A)
\end{CD}
\qquad\mbox{e}\qquad
\begin{CD}
\mathscr{X}(A) @>\beta_{n-1} >> \Omega^{n-1}(A)\\
@VV\divg V @VV d V\\
\mathscr{S}(A) @>\beta_n>> \Omega^n(A)
\end{CD}
\end{equation*}
tais que \(d\circ\alpha_0=\alpha_1\circ\nabla\) e \(d\circ\beta_{n-1}=\beta_n\circ\divg\text{,}\) onde \(\nabla
f\) é o campo gradiente de uma função \(f\colon
A\to\R\) dado por
Teorema3.Expressão para calcular \(f^\ast\omega\).
Sejam \(A\) um aberto de \(\R^k\) e \(f\colon
A\to\R^n\) uma função de classe \(\mathscr{C}^\infty\text{,}\)\(x\in\R^k\) e \(y\in\R^n\text{.}\) Se \(I=(i_1,\ldots,i_l)\) é uma \(l-\)upla ascendente em \(\{1,\ldots,n\}\text{,}\) então
onde \(dz_I=dy_{i_1}\wedge\ldots\wedge dy_{i_r}\text{,}\)\(f_I=(f_{i_1},\ldots,f_{i_r})\) para toda \(r-\)upla ascendente \(I=(i_1,\ldots,i_r)\) e \([J]\) é o conjunto de todas as \(l-\)uplas ascendentes do conjunto \(\{1,\ldots,k\}\text{.}\)
Neste exercício obtemos condições necessárias e suficientes para que os isomorfismos lineares \(\alpha_i\) e \(\beta_j\) definidos no Exercício 15 tenham bom comportamento quando submetidas a ação de um difeomorfismo \(f\colon A\to B\) entre abertos de \(R^n\text{.}\)
Sejam então \(f\colon A\to B\) um difeomorfismo entre abertos de \(\R^n\text{,}\)\(x\in A\) e \(y\in B\text{.}\) Ao campo de vetores em \(A\) dado por \(F(x)=f(x)_x\) associamos o campo \(G(y)=f_\ast\Big(F\big(f^{-1}(y)\big)\Big)\) em \(B\text{.}\)
Mostre que \(f^\ast(\alpha_1 G)=\alpha_1 F\text{,}\) para todo campo de vetores \(F\) em \(A\) se e somente se a matriz de \(Df(x)\) na base canônica é ortogonal para todo \(x\in A\text{.}\)Dica.
Mostre que \(f^\ast(\alpha_1 G)=\alpha_1 F\) equivale a \(Df(x)^tDf(x)\big(f(x)\big)=f(x)\text{.}\)
Para cada campo escalar \(h\) em \(A\) associamos o campo escalar \(k=h\circ\alpha^{-1}\) em \(B\text{.}\) Mostre que \(f_\ast(\beta_n k)=\beta_n h\) para toda \(h\) se e somente se \(\det Df=1\text{.}\)
Seja \(\theta\colon\R^2\to]0,2\pi[\) a segunda coordenada da inversa de \(f\colon\R^2\to\R^2\) dada no Exercício 22 da Lista 01 - “Recordação”. Mostre que
\begin{equation*}
\int_{C_{r,n}}d\theta = 2\pi
n,
\end{equation*}
onde \(C_{r,n}\) é o \(1-\)cubo singular dado por \(C_{r,n}=(\cos 2\pi nt, \sin 2\pi nt)\text{.}\)
Use o teorema de Stokes para \(1-\)cadeias singulares para concluir que \(C_{r,n}\) não pode ser o bordo de nenhuma \(2-\)cadeia em \(\R^2\setminus\big\{(0,0)\big\}\text{.}\)
Sejam \(c_1\) e \(c_2\)\(1-\)cubos singulares em \(\R^2\) satisfazendo \(c_1(0)=c_2(0)\) e \(c_1(1)=c_2(1)\text{.}\) Mostre que existe um um \(2-\)cubo singular \(c\) tal que \(\partial c=c_1-c_2+c_3-c_4\) onde \(c_3\) e \(c_4\) são degenerados, ou seja, pontos em \(\R^2\text{.}\) Conclua que
para toda \(1-\)forma exata \(\omega\) de \(\R^2\text{.}\) Dê um contra-exemplo em \(\R^2\setminus\big\{(0,0)\big\}\) quando \(\omega\) é fechada, mas não é exata.
existe. Se \(f\) é diferenciável em todo ponto de um aberto \(A\subset\C\) e \(f'\) é continua em \(A\) então dizemos que \(f\) é analítica em \(A\).
Mostre que \(f(z)=z\) é analítica e \(f(z)=\overline{z}\) não o é. Mostre também que somas, produtos e quocientes de funçções analíticas também são analíticas.
Mostre que se \(f(z)=u(z)+iv(z)\text{,}\) onde para \(z=x+iy\text{,}\) temos \(u(z)=u(x,y)=\Re f(z)\) e \(v(z)=v(x,y)=\Im f(z)\text{,}\) é analítica então \(u_x=v_y\) e \(u_y=-v_x\) (equações de Cauchy-Riemann). Vale a recíproca?
Seja \(T\colon\C\to\C\) uma transformação \(\R-\)linear. Mostre que \(T\) corresponde a uma multiplicação por um número complexo se e somente se \(a=d\) e \(b=-c\text{,}\) onde \(\left(\begin{smallmatrix} a&b\\ c&d
\end{smallmatrix}\right)\) é a matriz de \(T\) em relação à base \(\{1,i\}\text{.}\) Com isso, considerando \(f\colon\C\to\C\) analítica como uma função diferenciável de \(\R^2\) em \(\R^2\text{,}\) temos que \(Df(z_0)\) corresponde à multiplicação por um número complexo. Determine esse número.
Se \(f\) é analítica em \(A\) então \(\displaystyle\int_cf\,dz=0\) para toda curva fechada tal que \(c=\partial c'\text{,}\)onde \(c'\) é alguma \(2-\)cadeia em \(A\text{.}\)
Mostre que \(dz/z=id\theta+dh\) para alguma função \(h\colon\C\setminus\{0\}\to\R\) e conclua que \(\displaystyle\int_{C_{r,n}} (1/z)\,dz=2\pi i n\text{.}\)
O winding number em torno da origem de uma curva fechada \(c\) com imagem em \(\R^2\setminus\big\{(0,0)\big\}\) é o único inteiro \(n\) tal que \(c-C_{1,n}=\partial c'\) para alguma \(2-\)cadeia \(c'\text{.}\) (É necessário verificar a existência e unicidade de tal \(n\)).
