Teorema 32. Teorema de Fubini.
Sejam \(A\subset\R^n\) e \(B\subset\R^m\) retângulos fechados, e \(f\colon A\times B\to\R\) uma função integrável. Para cada \(x\in A\text{,}\) defina \(g_x\colon
B\to\R\) por \(g_x\colon B\to\R\) por \(g_x(y)=f(x,y)\) e
\begin{equation*}
\mathscr{L}(x)=\underline{\int_B}
g_x(y)\, dy\qquad\text{e}\qquad\mathscr{U}(x)=\overline{\int_B}
g_x(y)\, dy.
\end{equation*}
Então as funções \(\mathscr{L}\) e \(\mathscr{U}\) são integráveis em \(A\) e vale que
\begin{equation*}
\int_A\mathscr{L}(x)\, dx = \int_{A\times B}f(x,y)\,
dxdy = \int_A\mathscr{U}(x)\, dx.
\end{equation*}
Nota 33.
Escrevendo por extenso, temos
\begin{equation*}
\mathscr{L}(x)=
\underline{\int_B}f(x,y)\, dy\quad\text{e}\quad \mathscr{U}(x)=
\overline{\int_B}f(x,y)\, dy,
\end{equation*}
ou seja,
\begin{equation*}
\int_A\left(\underline{\int_B} f(x,y)\, dy\right)\,
dx=\int_{A\times B} f(x,y)\, dxdy =
\int_A\left(\overline{\int_B} f(x,y)\, dy\right)\, dx.
\end{equation*}
