Sejam \(A\subseteq\R^n\) é um conjunto da forma \(A=\bigcup\limits_{i=1}^n B_i\text{,}\) com cada \(B_i\) fechado (logo \(A\) é fechado) ou \(A=\bigcup\limits_{i\in I} B_\lambda\text{,}\) com cada \(B_i\) aberto (logo \(A\) é aberto). Se, para cada \(1\leq i\leq n\) ou \(i\in I\text{,}\)\(f_i\colon
B_i\to\R^k\) é uma função contínua tal que \(f_i\big|_{B_i\cap B_j}=f_j\big|_{B_i\cap B_j}\text{,}\) então existe uma única função contínua \(f\colon A\to\R^k\) tal que \(f\big|_{B_i}=f_i\text{.}\)
Se \(B\subset\R^n\) é um fechado, então \(f\colon
B\subset\R^n\to\R^k\) é diferenciável se existe aberto em \(A\subset\R^n\) tal que \(B\subset
A\) e \(\tilde f\colon A\to\R^k\text{,}\) diferenciável, tal que \(\tilde f\big|_B=f\text{.}\)
Denote, respectivamente, por \(\R_{\leq 0}\) e \(\R_{\geq 0}\) o conjunto dos números reais não positivos e não negativos. As funções \(f_1\colon\R_{\leq
0}\to\R\text{,}\) dada por \(f_(x)=-x\text{,}\) e \(f_2(x)\colon\R_{\geq 0}\to\R\text{,}\) dada por \(f_2(x)=x\text{.}\)
A interseção dos dois domínios é um fechado e não existe uma função suave que extende simultaneamente \(f_1\) e \(f_2\) para \(\R=\R_{\leq 0}\cup\R_{\geq 0}\text{.}\)
A função \(f\colon\R\to\R\) dada por \(f(x)=\begin{cases}
e^{-1/x},& x> 0\\
\hfill 0,& x\leq 0
\end{cases}\) é de classe \(\mathscr{C}^\infty\) em toda a reta real.
Dados \(r_1< r_2\in\R\) existe uma função suave \(h\colon\R\to\R\) tal que \(h(x)=1\text{,}\) para \(x\leq
r_1\text{,}\)\(0< h(x)< 1\text{,}\) para \(r_1< x<
r_2\) e \(h(x)=0\text{,}\) para \(x\geq r_2\text{.}\)
Dados \(0<r_1< r_2\in\R\) existe uma função suave \(H\colon\R^n\to\R\) tal que \(H(x)=1\text{,}\) para \(x\in
\overline{B_{r_1}(0)}\text{,}\)\(0< H(x)< 1\text{,}\) para \(x\in B_{r_2}(0)\setminus\overline{B_{r_1}(0)}\) e \(H(x)=0\text{,}\) para \(x\in\R^n\setminus B_{r_2}(0)\text{.}\)
Sejam \(\mathcal{A}=\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\) uma coleção de abertos de \(\R^n\) e \(A=\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\text{.}\) Então existe uma coleção enumerável de bolas fechadas \(\mathcal{B}=\big\{B_i\big\}_{i\in|N}\) tal que:
Sejam \(\mathcal{A}=\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\) uma coleção de abertos de \(\R^n\) e \(A=\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\text{.}\) Uma partição suave da unidade para \(A\) é uma coleção \(\Phi=\big\{\phi_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\text{,}\) onde cada \(\phi_\lambda\colon \R^n\to\R\) é suave, satisfazendo:
\(0\leq\phi_\lambda(x)\leq 1\) para todo \(x\in\R^n\) e \(\lambda\in\Lambda\text{;}\)
\(\supp \phi_\lambda\subset A_\lambda\text{,}\) dizemos que \(\Phi\) tem suporte compacto e é subordinada à cobertura \(\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\) de \(A\text{.}\)
Teorema52.Existência de partição suave da unidade em abertos.
Sejam \(\mathcal{A}=\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\) uma coleção de abertos de \(\R^n\) e \(A=\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\text{.}\) Então existe partição suave da unidade com suporte compacto e subordinada a \(\mathcal{A}\text{.}\)
Corolário53.Existência de partição suave da unidade.
Se \(A\subset\R^n\) é um conjunto qualquer e \(\mathcal{A}=\big\{A_\lambda\big\}_{\lambda\in\Lambda}\) é uma cobertura aberta de \(A\text{,}\) então existe partição suave da unidade para \(A\text{.}\)
Basta observar que \(A\subset\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}\) e que este último, por ser um aberto, tem garantida a exitência de uma partição da unidade subordinada a \(\mathcal{A}\text{.}\)
Uma cobertura aberta \(\mathcal{A}=\{A_\lambda}_{\lambda\in\Lambda\) para um aberto \(A\subset\R^n\) é admissível se \(A_\lambda\subset A\text{,}\) para todo \(\lambda\in\Lambda\text{.}\)
Sejam \(A\subset\R^n\) um aberto, \(\mathcal{A}\) uma cobertura aberta admissível para \(A\) e \(f\colon
A\to\R\) uma função localmente limitada, com conjunto de descontinuidades de medida nula.
A definição acima requer várias discussões para dar sentido ao somatório indicado. Fizemos isso em sala e também provamos que a convergência dessa soma independe da cobertura e da particão da unidade escolhidas para o aberto \(A\text{.}\) Além disso provamos que se \(f\) é uma função limitada e \(A\) é um conjunto \(J-\)mensurável, esta definição coincide com a anterior, justificado o adjetivo "estendida".
