Sejam \(A\subset\R^n\) um aberto e \(g\colon
A\to\R^n\) uma função injetora de classe \(\mathscr{C}^1\text{,}\) com \(\det g'(x)\neq 0\text{,}\) para todo \(x\in A\text{.}\) Se \(f\colon g(A)\to\R\) é integrável, então
\begin{equation*}
\int_{g(A)} f = \int_A (f\circ g)|\det g'|.
\end{equation*}
Se \(\mathcal{O}\) é uma cobertura admissível para \(A\) e o teorema vale para cada \(U\in
\mathcal{O}\text{,}\) então também vale para o aberto \(A\text{.}\)
Se o teorema vale para duas funções "mudança de variável", \(g\colon A\to\R^n\) e \(h\colon
B\to\R^n\text{,}\) com \(g(A)\subset B\text{,}\) então também vale para \(h\circ g\colon A\to\R^n\text{.}\)
Utilizamos duas funções convenientes para serem as funções \(g\) e \(h\) de modo que ao menos uma das coordenadas de sua composta fique fixa, permitindo, através do teorema de Fubini, aplicar a hipótese de indução.
Um fato importante, que permite a aplicação do teorema de mudança de variáveis em situações práticas, decorre da seguinte simplificação do teorema de Sard:
Sejam \(A\subset\R^n\) um aberto e \(g\colon
A\to\R^n\) uma função de classe \(\mathscr{C}^1\text{.}\) Então, se \(B=\big\{x\in A\colon\det
g'(x)=0\big\}\text{,}\) o conjunto \(g(B)\) tem medida nula.
Uma versão mais forte desse teorema lida com funções \(f\colon\R^n\to\R^m\text{,}\) de classe \(\mathscr{C}^k\text{.}\) O resultado é o mesmo, se \(k\geq
\max\{n-m+1,1\}\) e o conjunto \(B\) é formado pelos pontos onde o posto de \(g'(x)\) é menor que \(m\text{.}\)
