Tensores

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Definição 58. \(k-\)tensor.

Sejam \(V\) um espaço vetorial e \(V^k=V\times V\times\cdots\times V\) o produto cartesiano de \(k\) cópias de \(V\text{.}\) Um \(k-\)tensor é uma aplicação multinear \(T\colon V^k\to\R\) , ou seja,

\begin{align*} T(v_1,\ldots,v_i+w_i,\ldots,v_k)& =T(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_k)+T(v_1,\ldots,w_i,\ldots,v_k);\\ T(v_1,\ldots,\alpha v_i,\ldots,v_k)& =\alpha T(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_k), \end{align*}

para todo \(1\leq i\leq k\text{.}\)

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Definimos as operações de soma de \(k-\)tensores e multiplicação de uma escalar por um \(k-\)tensor de maneira natural:

\begin{align*} (T+S)(v_1,\ldots,v_k)& =T(v_1,\ldots,v_k)+S(v_1,\ldots,v_k);\\ (\alpha T)(v_1,\ldots,v_k)& =\alpha T(v_1,\ldots,v_k), \end{align*}

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Nota 59.

O conjunto \(\mathcal T^k(V)=\big\{T\colon V^k\to\R\text{ tais que } T\text{ é }k-\text{tensor}\big\}\) é um espaço vetorial.

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Exemplo 60. Produto escalar.

Se \(V\) é um espaço vetorial com produto escalar (ou produto interno), então este produto interno pode ser visto como um \(2-\)tensor (siméstrico e positivo-definido).

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Definição 61. Produto tensorial.

Sejam \(S\in\mathcal{T}^k(V)\) e \(T\in\mathcal{T}^l(V)\text{.}\) O produto tensorial, \(S\otimes T\in\mathcal{T}^{k+l}(V)\text{,}\) é dado por

\begin{equation*} (S\otimes T)(v_1,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots,v_{k+l}) =S(v_1,\ldots,v_k)T(v_{k+1},\ldots,v_{k+l}). \end{equation*}

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Nota 62.

Observe que \(S\times T\neq T\otimes S\text{.}\)

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Além disso, valem as propriedades:

\((S_1+S_2)\otimes T=S_1\otimes T+S_2\otimes T\text{;}\)

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\(S\otimes(T_1+T_2)=S\otimes T_1+S\otimes T_2\text{;}\)

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\((\alpha S)\otimes T=S\otimes(\alpha T)=\alpha (S\otimes T)\text{;}\)

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\((S\otimes T)\otimes U=S\otimes (T\otimes U)\text{.}\)

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Observe também que \(\mathcal T^1(V)=V^\ast\text{.}\)

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Teorema 63. Dimensão de \(\mathcal{T}^k\).

Sejam \(V\) um espaço vetorial, \(\mathcal{B}=\big\{v_1,\ldots,v_n\big\}\) uma base de \(V\) e \(\mathcal{B}^\ast=\big\{\phi^1,\ldots,\phi^n\big\}\) a base dual de \(\mathcal B\) para \(V^\ast\text{,}\) ou seja, \(\phi^i(v_j)=\delta_{ij}\text{.}\) Então os \(k-\)tensores \(\phi^{i_1}\otimes\cdots\otimes\phi^{i_k}\text{,}\) \(1\leq i_1,\ldots,i_k\leq n\) formam uma base para \(\mathcal T^k(V)\text{.}\) Em particular \(\dim\mathcal T^k=n^k\text{.}\)

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Demonstração.

Visto em sala.

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Definição 64. Pullback de tensores.

Sejam \(T\in\mathcal{T}^k(W)\) e \(f\colon V\to W\) uma transformação linear entre os espaços vetoriais \(V\) e \(W\text{.}\) Definimos o pullback de \(M\) por \(f\) como o \(k-\)tensor \(f^\ast T\in\mathcal T^k(V)\text{,}\) dado por

\begin{equation*} f^\ast T(v_1,\ldots,v_k)=T\big(f(v_1),\ldots,f(v_k)\big). \end{equation*}

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Isso define uma aplicação linear \(f^\ast\colon\mathcal{T}^k(W)\to\mathcal{T}^k(V)\)

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Nota 65.

Observe que \(f^\ast(S\otimes T)=f^\ast S\otimes f^ast T\text{,}\) para todos \(S\in\mathcal{T}^k(W)\) e \(T\in\mathcal{T}^l(W)\text{.}\)

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Teorema 66. Pullback canônico de um produto interno.

Sejam \(V\) um espaço vetoria, com \(\dim V=m>\) e \(T\) um produto interno sobre \(V\text{.}\) Então existem uma base ortonormal \(\mathcal B=\big\{v_1,\ldots,v_n\big\}\) de \(V\) (ou seja, \(T(v_1,v_j)=\delta_{ij}\)) e um isomorfismo \(f\colon\to\R^n\to V\) tal que \(f^\ast T(v_1,v_2)=\langle v_1,v_2\rangle\text{,}\) para todos \(v_1,v_2\in V\text{,}\) onde \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) é o produto interno usual do \(\R^n\text{..}\)

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Demonstração.

Visto em sala.

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Definição 67. Tensor alternado.

Um \(k-\)tensor \(\omega\in\mathcal{T}^k(V)\) é um tensor alternado se

\begin{equation*} \omega(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots,v_k)= -\omega(v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_i,\ldots,v_k), \end{equation*}

para todos \(v_1,\ldots,v_k\in V\text{.}\)

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O conjunto de todos os tensores alternados é denotado por \(\Lambda^k(V)\text{.}\)

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Nota 68.

O conjunto \(\Lambda^k(V)\) é um subespaço vetorial de \(\mathcal T^k(V)\text{.}\)

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Definição 69. Alternador de um tensor.

Dado \(T\in\mathcal{T}^k(V)\text{,}\) definimos o tensor \(\alt(T)\in\mathcal T^k(V)\) por

\begin{equation*} \alt(T)(v_1,\ldots,v_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k} (\sgn\sigma) T(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)}). \end{equation*}

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Nota 70.

Com isso temos uma aplicação \(\alt\colon\mathcal T^k(V)\to\mathcal T^k(V)\text{.}\)

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Teorema 71. Propriedades de \(\alt\).

\(T\in\mathcal T^k(V)\implies \alt(T)\in\Lambda^k(V)\text{;}\)

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\(\omega\in\Lambda^k(V)\implies\alt(\omega)=\omega\text{;}\)

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\(T\in\mathcal T^k(V)\implies\alt\big(\alt(T)\big)=\alt(T)\text{.}\)

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Nota 72.

O operador \(\alt\) tem todas as características de um tipo muito especial de transformação linear. Você consegue "projetar" de que tipo estamos falando?

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Demonstração.

Feita em sala.

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Se \(\omega\in\\Lambda^k(V)\) e \(\eta\in\Lambda^l(V)\text{,}\) nem sempre \(\omega\otimes\eta\in\Lambda^{k+l}(V)\text{.}\) Vamos "consertar" isso:

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Definição 73. Produto "wedge".

Se \(\omega\in\Lambda^k(V)\) e \(\eta\in\Lambda^l(V)\text{,}\) definimos

\begin{equation*} \omega\wedge\eta=\frac{(k+l)!}{k!\,l!} \alt(\omega\otimes\eta)\in\Lambda^{k+l}(V). \end{equation*}

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Nota 74.

Este produto satisfaz as seguintes proripedades:

\((\omega_1+\omega_2)\wedge\eta= \omega_1\wedge\eta+\omega_2\wedge\eta\text{;}\)

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\(\omega\wedge(\eta_1+\eta_2)= \omega\wedge\eta_1+\omega\wedge\eta_2\text{;}\)

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\((a\omega)\wedge\eta= \omega\wedge(a\eta)=a(\omega\wedge\eta)\text{;}\)

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\(\omega\wedge\eta=(-1)^{kl} \eta\wedge\omega\text{;}\)

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\(f^\ast(\omega\wedge\eta)=f^\ast\omega\wedge f^\ast\eta \text{;}\)

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Teorema 75. Associatividade do produto wedge.

se \(S\in\mathcal T^k(V)\text{,}\) com \(\alt(S)=0\) e \(T\in\mathcal T^k(V)\text{,}\) então \(\alt(S\otimes YT)=\alt(T\times S)=0\text{;}\)

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\(\alt\big(\alt(S\otimes T)\otimes U\big)=\alt(S\otimes T\otimes U)=\alt\big(S\otimes\alt(T\otimes U)\big)\text{;}\)

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se \(\omega\in\Lambda^k(V)\text{,}\) \(\eta\Lambda^l(V)\) e \(\theta\in\Lambda^m(V)\text{,}\) então
\begin{equation*} (\omega\wedge\eta)\wedge\theta= \omega\wedge(\eta\wedge\theta)= \frac{(k+l+m)!}{k!\,l!\, m!} \alt(\omega\otimes\eta\otimes\theta)\in\Lambda^{k+l+m}(V)\text{.} \end{equation*}

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Demonstração.

Feita em sala.

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Teorema 76. Base e dimensão de \(\Lambda^k(V)\).

Sejam \(V\) um espaço vetorial,\(\mathcal B=\{v_1,\ldots,v_n\}\) uma base de \(V\) e \(\mathcal B^\ast=\{\phi^1,\ldots,\phi^n\}\) sua base dual. Então \(\{\phi^{i_1}\wedge\cdots\wedge\phi^{i_k}\colon 1\leq i_1\leq i_2\leq\cdots\leq i_k\leq n\}\) é uma base de \(\Lambda^k(V)\text{.}\) Em particular, \(\dim\Lambda^k(V)={{n}\choose{k}}\text{.}\)

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Nota 77.

Se \(\dim V=n\text{,}\) então \(\dim\Lambda^n(V)=1\) e portanto se \(\omega\in\Lambda^n(V)\text{,}\) então \(\omega=a\lambda\text{,}\) com \(a\in\R\) e \(\lambda\) é qualquer \(n-\)tensor alternado não-nulo. Se \(V=\R^n\text{,}\) podemos tomar \(\lambda\) como o determinante.

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Demonstração.

Feita em sala.

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Teorema 78. Mudança de coordenadas e \(n-\)tensores alternados.

Sejam \(V\) um espaço vetorial,\(\mathcal B=\{v_1,\ldots,v_n\}\) uma base de \(V\) e \(\omega\in\Lambda^n(V)\text{.}\) Se \(u_i=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}v_j\text{,}\) então \(\omega(u_1,\ldots,u_n)=\det(a_{ij})\omega(v_1,\ldots,v_n)\text{.}\)

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Demonstração.

Feita em sala.

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Definição 79. Orientação de um espaço vetorial.

Sejam \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) e \(\omega\in\Lambda^n(V)\) não-nula. Então para cada base \(\mathcal{B}=\{v_1,\ldots,v_n\}\) de \(V\text{,}\) temos que \(\omega(v_1,\ldots,v_n)>0\) ou \(\omega(v_1,\ldots,v_n)<0\text{.}\) Particionamos o conjunto de bases de \(V\) de acordo com esse sinal.

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Duas bases de \(V\) têm a mesma orientação se e somente \(\det(a_{ij})>0\text{,}\) onde \((a_{ij})\) é a matriz mudança de base entre elas.

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Nota 80.

A definição acima independe da \(n-\)forma \(\omega\) escolhida.

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Notação:

\begin{align*} \big[v_1,\ldots,v_n\big]&=\big\{\text{bases de } V \text{ com a mesma orientação de } \{v_1,\ldots,v_n\}\big\}\\ -\big[v_1,\ldots,v_n\big]&=\big\{\text{bases de } V \text{ com orientação oposta à de } \{v_1,\ldots,v_n\}\big\} \end{align*}

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Uma orientação para \(V\) é a escolha de uma dessas classes de equivalência, tipicamente chamada de classe das bases de orentação positiva.

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Nota 81.

A orientação usual do \(\R^n\) é aquela onde a base canônica é positiva.

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Definição 82. Forma volume.

Sejam \(V\) um espaço vetorial de dimensão \(n\) com um produto interno \(T\in\mathcal{T}^2(V)\text{,}\) \(\mu=[v_1,\ldots,v_n]\) uma orientação de \(V\) e \(\omega\in\Lambda^n(V)\) tal que \(\omega(v_1,\ldots,v_n)=1\text{.}\) Nessas condições \(\omega\) é a forma volume de \(V\text{,}\) dada por \(\mu\) e \(T\).

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Nota 83.

Em particular, \(\det\) é a forma volume de \(\R^n\) definida por \(\langle\cdot,\cdot,\rangle\) e \([e_1,\ldots,e_n]\text{.}\) Nesse sentido, \(\det(v_1,\ldots,v_n)\) é o volume \(n-\)dimensional do paralelepípedo gerado por \(\big\{v_1,\ldots,v_n\big\}\text{.}\)

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Definição 84. Produto vetorial em \(\R^n\).

Dados \(v_1,\ldots,v_{n-1}\in\R^n\text{,}\) defina \(\phi\in\Lambda^1(\R^n)\) por

\begin{equation*} \phi(w)=\det(v_1,\ldots,v_{n-1}, w). \end{equation*}

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Como \(\phi\in\Lambda^1(\R^n)\simeq V^\ast\text{,}\) existe \(z\in\R^n\text{,}\) tal que \(\phi(w)=\langle w,z\rangle\text{.}\) O vetor \(z\) é denotado por \(z=v_1\times\cdots\times v_{n-1}\) e é chamado de produto vetorial dos vetores \(v_1,\ldots,v_{n-1}\).

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Proposição 85. Propriedades do produto vetorial.

Sejam \(v_1,\ldots,v_{n-1}\in\R^n\text{,}\) então

se \(\sigma\in S_n\text{,}\) então \(v_{\sigma(1)}\times\cdots\times v_{\sigma(n-1)}=\sgn\sigma v_1\times\cdots\times v_{n-1}\text{;}\)

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\(v_1\times\cdots\alpha v_i\cdots\times v_{n-1}=\alpha_i v_1\times\cdots\times v_{n-1}\text{;}\)

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\begin{align*} v_1\times&\cdots\times(v_i+w_i)\times\cdots\times v_{n-1}=\\ &v_1\times\cdots v_i\times\cdots\times v_{n-1}+v_1\times\cdots w_i\times\cdots\times v_{n-1}; \end{align*}

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\(\big\langle v_1\times\cdots\times v_{n-1},v_i\rangle=0\text{,}\) para cada \(1\leq i\leq n-1\text{.}\)

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Definição 58. \(k-\)tensor.

Nota 59.

Exemplo 60. Produto escalar.

Definição 61. Produto tensorial.

Nota 62.

Teorema 63. Dimensão de \(\mathcal{T}^k\).

Demonstração.

Definição 64. Pullback de tensores.

Nota 65.

Teorema 66. Pullback canônico de um produto interno.

Demonstração.

Definição 67. Tensor alternado.

Nota 68.

Definição 69. Alternador de um tensor.

Nota 70.

Teorema 71. Propriedades de \(\alt\).

Nota 72.

Demonstração.

Definição 73. Produto "wedge".

Nota 74.

Teorema 75. Associatividade do produto wedge.

Demonstração.

Teorema 76. Base e dimensão de \(\Lambda^k(V)\).

Nota 77.

Demonstração.

Teorema 78. Mudança de coordenadas e \(n-\)tensores alternados.

Demonstração.

Definição 79. Orientação de um espaço vetorial.

Nota 80.

Nota 81.

Definição 82. Forma volume.

Nota 83.

Definição 84. Produto vetorial em \(\R^n\).

Proposição 85. Propriedades do produto vetorial.

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