Se \(A\subset\R^n\) é um retângulo limitado, digamos \(A=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]\text{,}\) uma partição de \(A\) é uma coleção \(P=\big(P_1,\ldots,P_n\big)\text{,}\) onde cada \(P_i\) é uma partição de \([a_i,b_i]\text{.}\)
Sejam \(f\colon A\subset\R^n\to\R\) uma função limitada no retângulo limitado \(A\subset\R^n\text{,}\)\(P\) uma partição de \(A\) e \(S\subset A\) um subretângulo desta partição. Definimos
Uma função limitada \(f\colon A\subset\R^n\to\R\) definida no retângulo limitado \(A\subset\R^n\) é integrável se \(\sup\limits_P
L(f,P)=\inf\limits_P U(f,P)\text{.}\)
Uma função limitada \(f\colon A\subset\R^n\to\R\text{,}\) definida no retângulo limitado \(A\subset\R^n\text{,}\) é integrável se e somente se para todo \(\epsilon>0\) existe partição \(P\) de \(A\) tal que \(U(f,P)-L(f,P)<\epsilon\text{.}\)
Um conjunto \(A\subset\R^n\) tem medida nula se para todo \(\epsilon> 0\) existe uma cobertura enumerável por retângulos fechados (ou abertos), \(\big\{U_i\big\}_{i=1}^\infty\text{,}\) de \(A\) tal que \(\sum\limits_{i=1}^\infty v(U_i)<\epsilon\text{.}\)
Um conjunto \(A\subset\R^n\) tem conteúdo nulo se para todo \(\epsilon> 0\) existe uma cobertura finita por retângulos fechados (ou abertos), \(\big\{U_i\big\}_{i=1}^n\text{,}\) de \(A\) tal que \(\sum\limits_{i=1}^n
v(U_i)<\epsilon\text{.}\)
Uma função limitada \(f\colon A\subset\R^n\to\R\text{,}\) definida no retângulo limitado \(A\subset\R^n\text{,}\) é integrável se e somente se o conjunto
\begin{equation*}
B=\big\{x\in
A\colon f\text{ é descontínua em }x\big\}
\end{equation*}
Sejam \(B\subset\R^n\) um conjunto limitado e \(A\subset\R^n\) um retângulo tal que \(B\subset
A\text{.}\) A função característica de \(B\) relativa a \(A\), \(\chi_B\colon A\to\R\) é dada por \(\chi_B=1\text{,}\) se \(x\in B\) e \(\chi_B=0\text{,}\) se \(x\not\in B\text{.}\)
A função \(\chi_B\) é integrável se, e somente se, \(\partial B\) (fronteira de \(B\)) tem medida nula (e portanto conteúdo nulo). Nesse caso, dizemos que \(B\) é \(J-\)mensurável (Jordan mensurável).
Existem conjuntos abertos que não são \(J-\)mensuráveis. Exemplo: \((0,1)^2\setminus
\big(C\times [0,1]\big)\text{,}\) onde \(C\) é o conjunto de Cantor "gordo".
