Sejam \(A\subset\R^n\) um retângulo e \(f\colon
A\to\R^n\) uma função de classe \(\mathscr{C}^1\text{.}\) Se \(\left|\dfrac{\partial f^i}{\partial
x_j}(x)\right|=|D_jf^i(x)|\leq M\text{,}\) para todo \(x\in\mathring{A}\text{,}\) então \(|f(y)-f(x)|\leq n^2M|y-x|\text{.}\)
Sejam \(f\colon A\subset\R^n\to\R^n\) uma função de classe \(\mathscr{C}^1\) e \(a\in A\) tal que \(\det
f'(a)\neq 0\text{.}\) Então existem abertos \(V,W\subset\R^n\) com \(a\in V\) e \(f(a)\in W\) tais que \(f\colon
V\to W\) tem inversa \(f^{-1}\colon W\to V\) diferenciável satisfazendo
\begin{equation*}
\big(f^{-1}\big)'(y)=\Big[f'\big(f^{-1}(y)\big)\Big]^{-1}
\quad\text{, ou seja}\quad
Df^{-1}(y)=\Big[Df\big(f^{-1}(y)\big)\Big]^{-1}.
\end{equation*}
Uma função \(g\colon A\subset\R^n\to\R^m\) é dada implicitamente por \(f\colon
\R^n\times\R^m\to\R^m\) se \(f\big(x,g(x)\big)=0\text{,}\) para todo \(x\in A\text{.}\)
Sejam \(f\colon A\subset\R^n\times\R^m\to\R^m\) uma função de classe \(\mathscr{C}^1\) definida num aberto contendo \((a,b)\text{,}\) com \(a\in\R^n\) e \(b\in\R^m\) tal que \(f(a,b)=0\text{.}\)
Se a submatriz do Jacobiano \(\big(D_{n+j}f^i(a,b)\big)_{m\times m}\) tem determinante não nulo, então existem abertos \(A\in\R^n\) e \(B\in\R^m\text{,}\) com \(a\in A\) e \(b\in B\) e uma função \(g\colon A\to B\text{,}\) de classe \(\mathscr{C}^1\text{,}\) satisfazendo \(f\big(x,g(x)\big)=0\) para todo \(x\in
A\text{.}\)
Uma função \(f\colon A\subset\R^n\to\R^{m}\) é uma imersão em \(x_0\in A\) se \(Df(x_0)\colon\R^n\to\R^{n+k}\) é uma transformação linear injetora (logo \(n\geq k\)).
Seja \(f\colon A\subset\R^n\to\R^{n+k}\) uma imersão de classe \(\mathscr{C}^1\) em \(x_0\in A\text{.}\) Então \(f\) é localmente injetora em \(x_0\text{,}\) ou seja, existe um aberto \(U\subseteq A\text{,}\)\(x_0\in U\) tal que \(f\colon U\to f(U)\) é bijetora.
Sejam \(f\colon A\subset\R^n\to\R^{n+p}\) uma imersão de classe \(\mathscr{C}^1\) em \(x_0\in A\text{.}\) Então existe \(U\subset A\text{,}\)\(x_0\in U\text{,}\) tal que \(f(U)\) é o gráfico de uma função \(g\colon V\subset\R^n\to\R^p\) de classe \(\mathscr{C}^1\text{.}\)
Uma função \(f\colon A\subset\R^n\to\R^{m}\) é uma submersão em \(x_0\in A\) se \(Df(x_0)\colon\R^n\to\R^{m}\) é uma transformação linear sobrejetora (logo \(n\geq m\)).
Sejam \(f\colon A\subset\R^{n+p}\to\R^{p}\) uma submersão de classe \(\mathscr{C}^1\) em \(x_0\in A\text{.}\) Então existe \(W\subset A\text{,}\)\(x_0\in W\text{,}\) tal que \(f(W)\) é um aberto de \(\R^p\text{.}\)
Sejam \(f\colon A\subset\R^{n+p}\to\R^{p}\) uma submersão de classe \(\mathscr{C}^1\) em \(x_0\in A\text{.}\) Então \(f\) é aberta (isto é, a imagem direta por \(f\) de qualquer aberto é um aberto) e, se \(n> 0\text{,}\) então \(f\) não é injetora.
Seja \(f\colon A\subset\R^{m}\to\R^{n}\) uma função de classe \(\mathscr{C}^1\) tal que \(\text{posto}\,
Df(x)=p\text{,}\) para algum \(0< p< n\) em uma vizinhança de \(x_0\in A\text{.}\) Então existe \(W\subset
A\text{,}\) aberto com \(x_0\in W\text{,}\) tal que \(f(W)\) é o gráfico de uma função \(g\colon\R^p\to\R^{n-p}\) de classe \(\mathscr{C}^1\text{.}\)
